正交矩阵在前面我们已经提到它的定义是a以及a的逆矩阵等于a以及a的转置等于单位矩阵，并且知道它的性质是a的行列式的平方等于1。正交矩阵的充分必要条件就是A的逆等于A的转置，下面还是进入话题吧。工具/原料more参考书线性代数课本方法/步骤1/6分步阅读

证明正交矩阵a1,a2,a3,a4...as是非零向量并且两两正交，那么A矩阵一定是线性无关的。证明从定义出发得到一个方程组为k1a1+k2a2+k3a3+k4a4...ksas=0

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因为正交可以得到任何一个向量的转置乘以另一个向量一定是一个0向量，那么将a1的转置带入上面的方程最后得到k1a1的转置乘以a1并且a1不是0矩阵那么a1的内积一定不是0所以常数k1等于0，同样所有的常数都是0所以线性无关。

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正交矩阵跟斯密斯正交化的关系就是正交和单位化这是等价的。主要运用于相似矩阵的相似对角化。因为寻找的是可逆矩阵但是对角化需要正交化，也就是逆矩阵一定是等于转置矩阵。

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因为只有正交矩阵逆矩阵等于转置矩阵所以需要斯密斯正交化和对角化，但是很多的题型不需要单位化只需要正交化，比如一般的相似需要的是满足可逆的条件，但是原来本事不是可逆的也就是相同的特征值的特征向量是线性相关的需要的是斯密斯正交化。

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已知向量a1,a2,b1,b2都是3维列向量，并且知道a1,a2是线性无关，b1,b2也是线性无关的。证明存在一个向量c非零可以由a1,a2或者b1,b2线性表示。并且给出a1(1,0,2),a2(2,-1,3)，b1(-3,2,-5),b2(0,1,1)

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假设存在常数k1,k2使得k1a1+k2a2,k3b1+k4b2相等。也就是k1a1+k2a2+k3b1+k4b2一定是线性相关的，假设k1,k2等于0，那么k3,k4也等于0。所以一定是存在常数不等于0，求得方程的通解为k(2,-1,0,1)那么c等于k(0,1,1)。

注意事项

齐次方程的通解跟线性表示的关系需要掌握。